giovedì 6 settembre 2018

EQUAZIONI DIOFANTEE

Sono equazioni a coefficienti intere e delle quali si cercano soluzioni intere.
Consideriamo quelle lineari in x e y del tipo ax+by=c.
Posto d=MCD(a, b) queste equazioni hanno soluzioni solo se d divide c.
Se l'equazione ha soluzioni allora ne ha necessariamente infinite e sono date dalla somma di una soluzione particolare  (x', y') e di una generica dell'equazione omogenea ax+by=0.
Ad esempio 3x+4y=5 ha come soluzione particolare (3,-1). La soluzione dell'equazione dell'omogenea 3x+4y=0 è (4t,-3t). Quindi la soluzione è (4t+3,-3t-1).
Graficamente le soluzioni dell'equazione Diofantea sono i punti a coordinate intere che appartengono alla retta. Ad esempio le soluzioni dell'equazione 2x+3y=5 sono del tipo (1,1) soluzione particolare + (3t, -2t) soluzione omogenea. Quindi sono soluzioni tutte le coppie (1+3t,1-2t) al variare di t nei numeri interi. Ad esempio per t=1 ottengo C(4,-1) (vedi figura)

video lezione

martedì 4 settembre 2018

QUADRILATERI CICLICI

Un quadrilatero si dice ciclico se si può iscrivere in una circonferenza. 
 
1)Un quadrilatero è ciclico SE E SOLO SE gli angoli opposti sono supplementari.
DIM: è conseguenza del fatto che l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro.
 
2) Un quadrilatero è ciclico SE E SOLO SE sono uguali gli angoli che "insistono sullo stesso lato"

Un quadrilatero è ciclico SE E SOLO SE vale il teorema di TOLOMEO
TEOREMA DI TOLOMEO: ABXDC+ADXBC=ACXBD

Un quadrilatero è ciclico se e solo se (vale T. corde)
 AOxOC=BOxOD
 
 


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martedì 7 novembre 2017

Crivello di Eratostene



e' un procedimento per trovare tutti i numeri primi minori di n ed è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da 2  fino n . Poi si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di 2  e si ripete l'operazione con i numeri che seguono, proseguendo fino a che non si applica l'operazione all'ultimo numero non cancellato. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a n .



sabato 3 settembre 2016

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT

Il piccolo teorema di Fermat afferma che se a è coprimo a p :
ap-1=1 mod p
può servire per dimostrare che un numero NON è primo. In pratica dice che il periodo delle potenze con base a  mod p è un divisore di  p-1 e poi si ripetono. Ad esempio le potenze di 5,6,7… mod 11 si ripetono ogni 10 potenze. Così 50=1, 51=5, 52=3, 53=4, 54=9, 55=1
E’ sicuramente molto utile quando si devono calcolare potenze modulo p primo.
Ad esempio: calcolare il resto di 440 diviso per 19.
4 è coprimo a 19 quindi 418=1 . Scrivo 440= (418)244=44=(16)²=(-3)²=9

venerdì 2 settembre 2016

POTENZE CICLICHE MODULO n: cifra delle unità o ultime cifre

Le potenze modulo n sono clicliche con periodo d
ESEMPIO: in modulo 10 ( cifra delle unità)
potenze di 2
2^0=1
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=6
2^5=2
2^6=4
SI RIPETONO OGNI 4 termini
quindi possiamo calcolare la cifra delle unità di qualunque potenza di 2
2^134= ?  134=2 mod 4 allora 2^134=2^2=4
L' unità della potenza è 4

ALTRE POTENZE MOD 10
le cifre che si ripetono sono :
e i periodi sono :

Per ottenere le ultime due cifre di una potenza bisogna scriverlo mod 100